Teorema de Pitágoras
$$a^2 + b^2 = c^2 \implies \|x\|_2 = \sqrt{\sum x_i^2}$$
Define la métrica euclídea fundamental y la norma $L_2$. Es la piedra angular de las operaciones de producto escalar, cálculo de distancias y similitud coseno en los espacios de embeddings vectoriales de la IA.
Logaritmos (John Napier, 1614)
$$\log(x \cdot y) = \log(x) + \log(y)$$
Transforma productos de probabilidades en sumas numéricas tratables. Previene el subdesbordamiento aritmético (*underflow*) en GPUs al maximizar la función de log-verosimilitud (*Log-Likelihood*).
La Derivada (Newton & Leibniz, 1668)
$$\frac{df}{dt} = \lim_{h \to 0} \frac{f(t+h) - f(t)}{h}$$
Cuantifica la tasa instantánea de cambio. Da origen al algoritmo del gradiente descendente ($\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \nabla \mathcal{L}$) y a la regla de la cadena que impulsa el backpropagation.
Ecuación de Onda (d'Alembert, 1746)
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$$
Describe la propagación de perturbaciones a velocidad $c$. Esencial para el procesamiento de señales de audio, síntesis espectral de voz, sismología y el diseño de operadores neuronales ondulatorios.
Transformada de Fourier (J. Fourier, 1822)
$$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx$$
Descompone funciones continuas en combinaciones lineales de frecuencias ortogonales. Facilita convoluciones rápidas en tiempo $\mathcal{O}(N \log N)$ (FFT) y sustenta los Fourier Neural Operators (FNO) en SciML.
Ecuaciones de Navier-Stokes (1845)
$$\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \cdot \nabla u \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 u + f$$
Leyes no lineales de conservación de momento para fluidos viscosos. Banco de pruebas por excelencia de las PINNs y uno de los 7 Problemas del Milenio del Instituto Clay.
Segunda Ley de la Termodinámica (Boltzmann, 1877)
$$S = k_B \log W, \quad dS \ge 0$$
Conecta la entropía macroscópica con el conteo de microestados accesibles $W$. Inspira la formulación de las máquinas de Boltzmann, el *Simulated Annealing* y los modelos de difusión generativa.
Ecuación de Schrödinger (1926)
$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(r, t) = \hat{H} \Psi(r, t)$$
Determina la evolución determinista de amplitudes de probabilidad cuánticas en espacios de Hilbert. Guía el diseño de algoritmos de computación cuántica y Quantum PINNs (Q-PINNs).
Teoría del Caos / Mapa Logístico (May, 1976)
$$x_{t+1} = k x_t(1 - x_t)$$
Demuestra que reglas deterministas simples pueden generar trayectorias aperiódicas e impredecibles. Esencial para comprender la sensibilidad a hiperparámetros y bifurcaciones en el entrenamiento no convexo de redes profundas.